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martes, 27 de septiembre de 2016

lunes, 26 de septiembre de 2016

Differential equation whose solutions are numbers e and PHI



Solutions



Efectos relativistas en el cerebro humano

Efectos relativistas en el cerebro humano

Efectos relativistas en el cerebro humano


La frecuencia áurea


Pedro Hugo García Peláez














Dedicado a Albert Einstein en el 100 aniversario de la teoría de la relatividad general.


















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© Pedro Hugo García Peláez, 2016














Prólogo:

Este es un libro puramente científico y por lo tanto tiene algunas partes en cierta manera áridas para quien no tenga una base consistente de matemáticas, sin embargo creo que el esfuerzo de leerlo merecerá la pena.
No vas a encontrar aquí ningún tipo de medida sobre la tumba de un faraón y su relación con el número aúreo, pero sí fórmulas matemáticas con 5 ó 6 cifras significativas de aproximación en los cálculos, uno puede pensar que dos cifras significativas es casualidad, tres que ya no es tanta casualidad, pero cinco o seis cifras significativas decantan claramente la balanza al que ha hecho los cálculos.
A través de nuestro periplo enlazaré rigurosos métodos matemáticos con ciertas hipótesis a partir de las pistas e información que nos vayan dando las fórmulas usadas, sin más preámbulo comenzamos.





































1. Un poco de Historia



El cálculo de la razón de oro se remonta a la Antigua Grecia que era el epicentro de la cultura del mundo antiguo con diferencia.

No se sabe como se le ocurrió medir a Pitágoras esa razón, Pitágoras fue además el descubridor de la razón de la suma de los cuadrados de los catetos y el cuadrado de la hipotenusa en triángulos cuadrados, sea como fuera en ese contexto tan especial como la Antigua Grecia que fue una de las épocas más asombrosas de la historia mundial se calculo la razón áurea, siendo Pitágoras el que la calculo.

Pitágoras tenía mucho poder en esa Grecia donde apareció una luz intensa que que cubría todos los campos tanto de artes de letras como de matemáticas.

En las Universidades actuales tanto el cálculo del número áureo como la relación entre la hipotenusa y los catetos de un triángulo cuadrado puede considerarse como matemáticas para niños.

Si alguien de letras quiere profundizar en las Matemáticas, Física o Química debe estudiar Historia de la ciencia, que además de darle una visión del contexto temporal de los descubrimientos científicos le dará también una visión de la importancia de los descubrimientos.

No es recomendable para un neófito en Matemáticas o Física profundizar en la parte teórica y práctica de estas materias ya que con lleva mucho trabajo y varios años conseguir defenderse en este ámbito.

Cuando Kepler dijo que las dos relaciones anteriores eran una joya preciosa a mi me sorprendió un poco.

El primer descubrimiento de Pitágoras no está mal si la situamos en el ámbito histórico de la antigua Grecia aunque ahora la consideraríamos matemáticas de niños, sin embargo lo de denominar el número áureo como joya preciosa despertó mi curiosidad hay que tener en cuenta que los otros dos números irracionales importantes, tanto Π como el número “e” tienen una importancia vital en física, tanto en mecánica como electromagnetismo, sin embargo hasta donde yo conozco el número Φ no tienen ninguna aplicación en física ni matemáticas.

Tanto su leyenda de proporción divina como de número de la belleza no tienen ningún fundamento, lo mismo que su uso en economía, proporciones de estatuas o biología.

Es un auténtico misterio porqué Kepler se interesó tanto en él y fue el que primero profundizo en el tema de su cálculo ya que podemos situar claramente a Kepler en el top diez de los físicos sin equivocarnos en absoluto y seguramente algunos entre los que me incluyo lo situaríamos en el top cinco junto a Newton Gauss y Einstein.






2. Efectos relativistas en el cerebro humano

El Efecto Doppler en el cerebro humano

Hasta ahora no hemos introducido efectos relativistas respecto a las ondas, si bien es verdad que algunos se pueden incluir y tienen efectos sorprendentes, como cuando estaba escuchando a Gonzalo Benavides, un cantante de los años 80 que había descubierto hace poco en Youtube, a pesar de ser un experto en los años ochenta no le conocía, y la verdad es que fue relativamente famoso en esa época, más precisamente en el fenómeno de fans tipo Miguel Bosé, Iván o Pedro Marín de aquella época de los principios de los años ochenta.
Incluso había salido en un capítulo de la famosa serie, "Verano azul". Y representó a España en el festival de la O.T.I .de 1983, festival que ha dejado de existir.
La canción suya que me gustaba era "Quién piensa en ti", tenía un tono pegadizo y como la descubrí hace poco la estuve oyendo repetidas veces, como hemos visto dependiendo de la frecuencia de las ondas, los sonidos pueden producir sonidos agradables que nos gusta oír y que nuestro cerebro agradece.
Sin embargo como siempre estoy dándole vueltas a la cabeza me vino una idea, que quizás era conseguir el primer efecto relativista conseguido en el cerebro humano.
Por supuesto no quiero atribuirme ni mucho menos el descubrimiento del efecto Doppler, que se debe al físico austríaco Christian Andreas Doppler, y que describe el aparente cambio de frecuencia de una onda producido por el movimiento relativo de la fuente respecto a su observador. Doppler propuso este efecto en 1842 en su tratado Über das farbige Licht der Doppelsterne und einige andere Gestirne des Himmels (Sobre el color de la luz en estrellas binarias y otros astros).
Es el primer fenómeno relativista que se observó.
Sin embargo la idea que se me ocurrió era buena y de hecho busqué algún experimento parecido por Internet, que pudiera haber creado efectos relativistas en el cerebro humano.
Sin embargo no encontré ninguna, por lo que considero la idea totalmente mía, o sea una aplicación del efecto Doppler al cerebro humano, que seguidamente describiré.
Primero voy a poner el clásico ejemplo de la ambulancia.
La velocidad del sonido en el aire es en km/h = (343 m/1 s) · (3600 s/1 h) · (1 km/1000 m) = 1234,8 km/h.
Una ambulancia que viaje a 50 Kilómetros por hora, o lo que es lo mismo 14 m/s tiene una fracción del 4% respecto a la velocidad del sonido. Un cuatro por ciento a veces es mucho y ya es una cantidad apreciable, de hecho un 1% de fracción respecto a la velocidad del sonido, ya es una cantidad apreciable para notar los efectos relativistas del sonido nosotros mismos.
Vamos con el ejemplo:
La sirena de una ambulancia se acerca a nosotros con una velocidad de 50 Km/h emitiendo un sonido de una frecuencia de 300 Hz. La velocidad del sonido en el aire es constante, lo único que puede cambiar es su frecuencia, una mayor frecuencia quiere decir que la onda repite sus crestas y llanos más rápidamente, o sea si se me permite el ejemplo percibimos la onda como más chillona o machacona.
Por lo tanto una onda sonora de 300 Hz es más aguda en su percepción y una de 100 Hz más grave, una onda de 300 Hz equivale al sonido de un niño pequeño gritando.
Si usamos la fórmula del cambio de frecuencia de la onda sonora por el efecto Doppler:



Ésta se usa cuando la fuente se está alejando del observador.
-(f´) Es la frecuencia del sonido oído por el observador
-(f) Es la frecuencia del sonido emitido por la fuente, en nuestro caso 300 Hz. La frecuencia emitida por la sirena de la ambulancia.
-(u) Es la velocidad a la que se mueve la fuente, en nuestro caso la ambulancia a 14 m/s
-(v) Es la velocidad del sonido 343 m/s
Todas las unidades en el sistema internacional de medidas (SI).

Cuando la fuente se acerca la fórmula es igual pero con signo menos en el denominador.




Vemos que cuando la ambulancia se acerca a nosotros, y al ser la velocidad de la ambulancia un 4% la velocidad del sonido, la frecuencia que percibimos será un 4% mayor, o sea de 312 Hz. más chillona si cabe. Al pasar justamente delante de nosotros será de su frecuencia natural o sea de 300 Hz. con lo que ya conseguiremos cierto alivio, y cuando se aleja de nuestra posición, la frecuencia será un 4% menor o sea de 288 Hz. con lo que el alivio será mayor si cabe.
Hasta aquí todo normal seguro que todos nosotros hemos sufrido este efecto multitud de veces.
Pero la idea que se me ocurrió, aunque simple era bastante original. Estaba oyendo la canción anteriormente comentada de Gonzalo Benavides, y pensando en el efecto Doppler, empecé a mover el móvil de un lado a otro con cierta velocidad en el espacio comprendido entre la longitud de mi cara, o sea entre una oreja y la otra.
El sonido se volvía muy agradable, vamos a usar la velocidad en la que os sintáis más cómodos, pero vamos a usar una velocidad promedio de unos dos metros por segundo.
Ya es una fracción de casi un 1% de la velocidad del sonido, por lo tanto apreciable. Cada uno lo puede intentar hacer a su ritmo.

A continuación ilustro con una imagen el experimento.





Una canción con ese ritmo podía tener un espectro de frecuencias que van desde 100 Hz a 300 Hz .
Lo sorprendente es que moviendo el móvil en esa posición de un lado para otro, una onda sonora del móvil de 300 Hz llegaba a un oído con una frecuencia de 303 Hz y al otro oído con una frecuencia de 297 Hz.
Pero como la velocidad del sonido es altísima y más a esas distancias llegaba a cada oído simultáneamente.
No sé muy bien como procesa el cerebro el sonido, pero ese sonido llegaba simultáneamente a los dos hemisferios del cerebro por medio de los oídos, pero con dos frecuencias diferentes, dicho de una manera un hemisferio por medio de un oído procesaba el sonido con una frecuencia de 303 Hz y el otro hemisferio procesaba el mismo sonido con una frecuencia de 297 Hz simultáneamente.
Me sorprendió que los sonidos resultasen más agradables si cabe, y es que se estaba produciendo un efecto relativista, cada hemisferio funcionaba de diferente manera, o sea cada hemisferio funcionaba como dos observadores y cada uno percibía el sonido de la misma fuente sonora de diferente manera dependiendo de la posición de la fuente en cada momento.
En un momento un hemisferio procesaba una frecuencia de 303 Hz y el otro de 297 Hz, al otro momento un hemisferio procesaba una frecuencia de 99 Hz y el otro de 101 Hz y en otro momento uno recogía frecuencias de 252,5 Hz y el otro de 247,5 Hz ya que el espectro de frecuencias de las ondas sonoras de la canción era muy amplio. Y además cada hemisferio se alternaba en tener la frecuencia baja y la alta según la fuente se estuviera alejando o acercando al oído derecho o izquierdo.
A todos los efectos no había un hemisferio predominante a la hora de escuchar el sonido, ni siquiera los dos estaban en la misma situación, cada uno lo procesaba de una manera y luego no sé como se pondría de acuerdo el propio cerebro, para que percibiésemos la única onda pero procesada diferentemente por cada tímpano en un hemisferio y en el otro, y la procesara como un único sonido con dos frecuencias diferentes, sólo Dios sabe con qué frecuencia los uniría, no creo que nadie haya llegado a desarrollar una fórmula para esto.
Como vuelvo a repetir el sonido llegaba a cada hemisferio, por medio de cada tímpano con una diferencia de menos de 0.0001 segundos o sea una diez milésima de segundo, en el mayor de los casos, y en un tiempo a todos los efectos igual cuando la fuente se encontraba moviéndose cerca del centro de la cara. A todos los efectos simultáneamente.
Lo realmente sorprendente es que el sonido resultaba más agradable, y si se me permite se creaba una diferencia de potencial que hacía trabajar a cada hemisferio cerebral de forma diferente, y de hecho yo me notaba más alegre al repetir el ejercicio.
Dicho sea en términos relativistas cada hemisferio funcionaba de forma diferente, si el móvil de la canción se movía desde el centro de nuestra cabeza al oído izquierdo que si se movía desde el centro a nuestro oído derecho.
En términos relativistas cada hemisferio cerebral trabajaba dependiendo de la posición de la fuente de música en movimiento y no había un hemisferio que actuara predominantemente, de hecho ambos se alternaban continuamente dependiendo del movimiento de la fuente, Cada hemisferio funcionaba a todos los efectos como dos observadores que oían la misma canción con frecuencias diferentes.
Quiero incidir que a todos los efectos estamos hablando de la misma onda producida por una única fuente, recuerdo que un día en La Facultad de Ciencias Físicas, estaba la profesora explicando el fenómeno Huygens, el fenómeno de Huygens, que a propósito fue un físico inglés, al que se le ocurrió la siguiente idea, al observar el mástil de un barco moverse por un canal inglés cuando el barco viraba.
El fenómeno consiste en que cuando un observador está en la tierra y ve una onda lumínica procedente del Sol, la ve llegar con un diferente ángulo al que realmente tiene al incidir sobre la tierra, le pregunté a la profesora que si de cierta manera la onda de luz se había dividido en dos.
Tajantemente me dijo, que de ninguna manera la onda lumínica se había dividido en dos y que todo se debía a un cambio de percepción por parte del observador que se movía, esa respuesta despejó todas mis dudas, y es que la tierra se mueve y se mueve a una velocidad considerable de 57 Km/s.
De hecho el efecto Huygens, se usa para mejorar todavía más el efecto Doppler, de hecho cuando la distancia de la fuente al observador comparada con la longitud de la onda sonora es muy grande, en nuestro caso es así, se hacen unas aproximaciones y se multiplica el coseno del ángulo formado entre la fuente y el observador.
Al tener el móvil a unos 5 cm. de la cara, el ángulo que forma el móvil con los oídos es casi cero y como coseno de cero es uno la fórmula no varía.

Pongo la fórmula para quien le pueda interesar y la frecuencia queda en función del ángulo ya que la velocidad de la fuente y del sonido, son constantes como en el caso anterior.
Cuando tiene signo + la fuente se está alejando del observador y cuando tiene signo – la fuente se está acercando al observador.






Vuelvo a incidir que si estamos en una discoteca, que tiene dos altavoces puede haber regiones de la discoteca donde el sonido se anule por interferencia de las dos ondas de cada altavoz, y en otras la amplitud se duplique, ya que cuando dos ondas se superponen ambas se pueden sumar, y si son iguales el conjunto de ambas tendría doble amplitud, pero éste no es nuestro caso aquí hablamos de una sola onda producida por una sola fuente, que entra por un tímpano y sale por el otro, "como cuando dicen en el colegio: “Te entra por una oreja y te sale por la otra", pero que cada tímpano la recoge con diferente frecuencia dependiendo de la posición en cada instante de la fuente, por lo tanto es un efecto relativista en todos los sentidos.
La clave es que se está alejando de un tímpano y acercándose al otro y luego al revés.
Es la misma onda con un carácter relativista.
Seguidamente explico por qué no hemos podido de momento conseguir efectos relativistas con las ondas de luz.

Lo mismo pasaría con la luz, si nos moviésemos a velocidades que fueran una fracción de la velocidad de la luz alejándonos del foco de la luz, el espectro de luz cambiaría a tonos más rojos que corresponden a una frecuencia menor, o sea veríamos cambiar la luz hacía tonos más rojizos.
Movernos a velocidades que sean una fracción, aunque sea de un uno por ciento respecto a la velocidad de la luz, es todavía inviable con la tecnología actual.
Estamos hablando de como mínimo velocidades de 3.000 Kilómetros por segundo o lo que es lo mismo más de 10.000.000 de Kilómetros por hora, sí las cifras están bien, para que el cerebro humano capte efectos relativistas respecto al espectro de la luz se necesitaría mover la fuente entre nuestros dos ojos a velocidades superiores a diez millones de kilómetros en una hora.
El Apollo 10, con los tripulantes, Thomas Stafford , John W. Young y Eugene Cernan, lograron la velocidad más alta con respecto a la Tierra jamás alcanzada por un ser humano: 39.896 km/h (11,1 km/s), aproximadamente 0,000037 por ciento de la velocidad de la luz). El récord se estableció el 26 de mayo 1969.
Una fracción de 0,000037 respecto a la velocidad de la luz es totalmente despreciable bajo el punto de vista relativista.
Pero con el sonido no pasa igual. La velocidad del sonido en el aire (a una temperatura de 20 °C) es de 343 m/s.
Llegados a este punto voy a ilustrar con un ejemplo el efecto Doppler, en el espectro de frecuencias visibles de la luz para el ser humano.
La Tierra vista desde el espacio, con las fotos que nos han mandado los viajes tripulados al espacio y las sondas espaciales no tripuladas, tiene un color azulado.
Si una nave espacial se alejase de La Tierra con una velocidad de una fracción de 0,1 con respecto a la velocidad de la luz, un observador dentro de la nave vería La Tierra de un color totalmente verde.

Quiero incidir que el observador no sufriría de Daltonismo, y que está observando los mismos rayos de luz que se reflejan en La Tierra, que están observando los astronautas, pero a esas velocidades se produce un cambio “aparente” de la frecuencia de cualquier tipo de onda, ya sea el sonido, la luz o cualquier tipo de onda electromagnética.
El nombre de La Teoría de la Relatividad es muy acertado, ya que todo es relativo.
Un hombre de campo te puede decir que una naranja es de color anaranjado, pero un observador a velocidades cercanas a la luz acercándose a esa naranja la podría ver azul.
En resumen La Teoría de La Relatividad postula que no hay ningún sistema de referencia predominante, todo es relativo, según y esto hay que tener en cuenta tres variables, la velocidad del observador, su distancia a otro observador e incluso el tiempo en los que dos observadores se hayan estado alejando el uno del otro.
Sin embargo hay una restricción importante, como la velocidad de la luz es igual en todos los sistemas de referencia, si estuviésemos montados en un rayo de luz, veríamos moverse a la misma velocidad otro rayo de luz cuya fuente a su vez estuviese moviéndose a velocidades cercanas a la luz, por ejemplo la luz de una linterna moviéndose a velocidades de 0,5 la velocidad de la luz.
Este sistema es muy democrático y si los fotones pueden o pudiesen ver verían todo tipo de luces a la misma velocidad, aunque estuviese moviéndose la fuente que las produce o no.
Llegados a este punto vemos que para poder percibir la tierra de un color verde, deberíamos ir en una nave que se moviese a 30.000 Km/s o lo que es lo mismo 108.000.000 Km/h más de 100 millones de kilómetros por hora. Algo que ahora mismo es totalmente inviable para la tecnología humana.
Sin embargo aunque las velocidades a las que nos movemos sean insignificantes comparadas con la velocidad de la luz, no se pueden considerar nulas, muy pequeñas sí, pero totalmente nulas no.
Por lo que se me ocurrió un experimento.
Yo suelo jugar al póker con mi móvil y moví en un pequeño intervalo de tiempo el móvil entre mis ojos a una distancia de unos 5 cm. y a nuestra habitual velocidad de 2 m/s
Creo que la máxima velocidad, con la que podemos mover nuestro móvil con nuestra mano no debe exceder mucho de 10 m/s
Y hay que tener en cuenta que la distancia entre los dos ojos es de unos 3 ó 4 centímetros, por lo que debemos mover el móvil de un lado para el otro, en ese pequeño espacio.
A todos los efectos la pantalla con el juego del póker es como un videojuego con un espectro de luces bastante variado, por lo que cada ojo humano debería ver cada rayo de luz proveniente del móvil con una frecuencia un poco diferente, casi insignificante pero sea como fuere ligerísimamente diferente.
Por lo que a efectos muy leves se estaba produciendo un efecto relativista visual en nuestro cerebro.
Cada ojo veía cada rayo de luz con una frecuencia aparentemente diferente, vuelvo a incidir que cada ojo ve instantáneamente “el mismo rayo de luz” pero lo percibe con una frecuencia diferente, aunque extremadamente parecida.
Pero insisto que las dos frecuencias siguen sin ser iguales y nuestro cerebro tiene que procesar el mismo rayo de luz de forma diferente, y luego juntarlo para darnos una visión en conjunto.
Noté que después del experimento mi concentración y atención mejoraban notablemente y no sólo después de dejar el videojuego, sino durante mucho tiempo después.
Después se me ocurrió una idea, que era ver que pasaba cuando se metía en la fórmula del efecto Doppler, velocidades que fueran una fracción del número áureo
Da igual sea cual fuera la velocidad del sonido, la luz o cualquier onda electromagnética en el medio que fuera, ya que lo que meto en la ecuación es una fracción de la propia velocidad de cualquier onda en cualquier medio.
Por ejemplo: La velocidad del sonido es mayor en capas altas de la atmósfera pero lo que considero, es que la fracción de la velocidad de movimiento de la fuente de cualquier onda sea una fracción equivalente al inverso del número áureo o sea 0,61
Aunque hay ciertas coincidencias que resultan sorprendentes, no pueden considerarse de una precisión matemática inusual, y sólo he conseguido hallarlas usando dos decimales y a veces tres cifras significativas.
Vamos con las relaciones que son muy interesantes.
Primeramente decir que los logaritmos están muy presentes en el oído humano ya que éste percibe la intensidad del sonido en forma de logaritmos, cuando crece la intensidad el aumento de percepción del oído lo hace de forma logarítmica a la propia intensidad que realmente se produce.
Y es más; en cierta manera el oído humano tiene una forma de esas de caracola, que se parecen a la espiral logarítmica con simetría basada en el número áureo. Además quien no ha oído ruidos parecidos a los del mar, cuando se ha puesto una caracola de mar cerca de la oreja.
Dicho esto vamos con esas sorprendentes coincidencias.
Si metemos velocidades que sean fracciones del número áureo en la ecuación del efecto Doppler, tenemos que las frecuencias son o un 1/0,39 mayor o un 1/1,61 menor que la frecuencia natural de la fuente.
Da igual que estemos midiendo la velocidad del sonido al nivel del mar, en altas capas de la atmósfera, la velocidad de la luz en el vacío, en el agua o la velocidad de cualquier onda en cualquier medio.
Lo que pretendo decir es que la fuente o el observador se mueven a una fracción de 0,61 respecto a la velocidad de esta onda.
Por lo tanto metiendo este dato en la ecuación tenemos que la frecuencia percibida por un ojo y el otro o por un oído y el otro es 0,62 menor en un caso y 2,56 mayor en el otro
La relación de fracción entre las dos frecuencias percibidas “por la misma onda” es de:
4,12 o sea hay una diferencia de más de 4 enteros entre la frecuencia mayor percibida y la menor (éste número es muy importante y quiere decir que la onda percibida por nosotros es 4,12 mayor en un hemisferio que en el otro.
Si le aplicamos logaritmos en base 10 a esta cantidad tenemos que log(4.12) = 0,615 aproximación de dos decimales al inverso del número áureo.
Si dividimos 4.12 por 2 = 2.06 y si le aplicamos logaritmos en base 10 log(2.06) =0.314
Tenemos que tres cifras significativas se aproximan al número Pi.
Sigamos con esta progresión decreciente de seguir dividiendo 4.12 por números más altos
Si dividimos 4.12 por Pi tenemos y usando ahora logaritmos Neperianos, tenemos que ln(1.31) = 0.270 tenemos dos cifras significativos del número “e” lo que tiene lógica ya que en esta ocasión hemos usado logaritmos neperianos que tienen su base en el número “e”.
Si dividimos 4.12 por 6 y usando logaritmos en base 10 tenemos que log (0.69) = 1.61
Vemos que al aplicar logaritmos en base 10 al número 4,12 y al número 4,12 dividido entre seis, obtenemos el inverso del número áureo y el propio número áureo
En cierta manera es sorprendente, no he hallado ningún camino subsiguiente que me indique que estos sigue algún tipo de sucesión lógica, aunque pudiera haberla.
Por último la relación siguiente también nos da dos cifras significativas del número áureo y es la exponencial elevada a 4,12 o sea e^(4,12) = 61,5 dos cifras significativas del inverso del número áureo.
Resumiendo:

Cuando el observador o la fuente se mueve a una fracción de 0,61 la velocidad de cualquier onda en cualquier medio, se produce una diferencia de frecuencias de la percepción de la onda en cada hemisferio de 4,12 y el cerebro humano que funciona de una manera logarítmica a la hora de procesar diferentes frecuencias las capta como una diferencia en una proporción áurea.



















3. La frecuencia aúrea


Pero hay una relación interesante con todo esto. Debido a las propiedades del número áureo hay tres ecuaciones que dan el número áureo que es irracional.







Si cogemos la tercera:




Elevamos ambos lados al cuadrado y sustituyendo “Phi” por x nos queda el siguiente polinomio:



Cuyas raices son:



x1=0.61803
x2=−0.61803
x3=−1.61803
x4=1.61803

O sea “phi y su inverso con los signos mas y menos.


A este polinomio le vamos a llamar nuestra función más valiosa hasta el momento sobre el número “phi”. Pero no hemos enterado que un tal Taylor ideó una forma de buscar el polinomio que más se acerca a una función en un punto.



3. Series de Taylor de nuestra función:



Aunque nuestra función sea un polinomio no importa vamos a intentar depurarlo más.

El Polinomio de Taylor de grado cero es la función en el punto o sea en el número áureo.

1.61803398874988

La solución es 0 con 14 cifras decimales lo que ya habla bastante de nuestra precisión.

No nos da demasiada información pero a parte de ser una raíz el primer término de nuestro polinomio de Taylor vemos que no va influir en los siguientes términos lo que nos vendrá al pelo.

Vamos con el polinomio de Taylor de grado uno que es:


-7.2352x+11.7066

Vamos a dividir 11.7066 entre 7.2352 o sea:

11.7066 / 7.2352 = 1.61800

El número áureo es : 1.61803 Pero si tenemos en cuenta que hemos usado cinco cifras significativas en nuestro cálculo podemos afirmar que la exactitud es absoluta.

Vemos que el cociente entre la pendiente de una recta y su punto de corte con el eje de abscisas nos da el número áureo. Por lo que parece que no vamos desencaminados.



Pero vamos a recordar lo que estamos haciendo tenemos una función a la que le hemos denominado ecuación del número áureo que es:






Y sobre ella estamos haciendo un desarrollo de Taylor. Que sería teóricamente una forma de mejorar algo nuestra función y vemos que no vamos desencaminados.

Tenemos que el segundo polinomio de Taylor nos indica que la pendiente partida por su corte con el eje de abscisas nos da el número áureo. De aquí vamos a sacar una función sinusoidal de la forma:


Así podremos hallar la frecuencia “entre comillas” áurea.


Una función sinusoidal tiene la forma:



Si insertamos nuestro primer polinomio de Taylor en la función sinusoidal queda:




y como la velocidad angular es -7.2352

Tenemos que el periodo es:



El periodo es muy parecido al periodo de flotación del cuerpo humano en el agua y algo menos de un segundo.

Tengo que denotar que en la mayoría de las proporciones del cuerpo humano el periodo de oscilación de diferentes partes del cuerpo suele ser de menos de un segundo. Es como si algo menos de un segundo fuera una medida importante, si bien considero que quien ideo la unidad de un segundo acertó completamente ya que aunque un segundo parezca un tiempo muy pequeño la verdad es que si lo analizamos bien grandes cambios pueden ocurrir en esta proporción de tiempo de un segundo que nos parece tan pequeña.

La función sinusoidal hallada tiene de periodo 1.1515 Hz y su gráfica es:





Yo cuando juego al poker me pongo una función sinusoidal de frecuencia 1,100 KHz que a pesar de que no oigo por su espectro de alguna manera me mantiene concentrado en el juego y es que de alguna manera si pudiésemos considerar una frecuencia áurea creo que esta sería de 1,1515 Hz


sábado, 24 de septiembre de 2016

El Arca de Noé: La Historia se repite, sólo la gente VIP se salva

El Arca de Noé


La Historia se repite, sólo la gente VIP se salva


Pedro Hugo García Peláez


© Pedro Hugo García Peláez 2016










Omar nació una calurosa mañana de Agosto de 1968, más precisamente a las 7 de la mañana era madrugador hasta para eso.
Se había acabado una época muy bonita “los felices sesenta”, de hecho la época comprendida en España entre 1951 y 1968 había producido los datos económicos de crecimiento jamás antes conseguidos por ningún país en la historia de la humanidad, ni la revolución industrial inglesa ni el milagro alemán lo consiguieron, si bien es cierto que España venía de una posición muy atrasada en 1951.
Debió ser una época muy bonita pensó; Cuando tenía cuatro años, ya era 1972 pero lo cierto que en 1972 oír a los Beatles, de los que se decía que habían sido más populares que Jesucristo empezaba a ser una cutrez, los hippies empezaban a oler mal y daba la impresión que aquellos años 60 a los que se había dado tanto bombo y platillo habían durado menos que un caramelo a la puerta de un colegio.
Ya era 1973 y a pesar de la censura en España, “Spain is different”. Me acuerdo que teniendo cinco años fui con mis padres a ver una película para mayores de dieciocho años, mis padres le dijeron al acomodador que no tenían donde dejarme y me dejaron pasar.
La película era una tontería, trataba sobre unos americanos que invertían en España, con sus amoríos, empleados trepas, etc… aprovechándose de la oportunidad americana, en esto todo el mundo se puso a reír y le pregunté a mi madre de que se reían... me dijo que uno de los trepas se había puesto a hablar con acento americano para impresionar a los americanos, agradecí a mi madre que me hubiera explicado las cosas de los mayores.
Los años siguientes fueron duros para Omar, él quería prepararse y abrirse camino en el mundo y llevó una vida escolar, pero el tiempo pasaba rápido y en 1978 le mandaron a estudiar a Inglaterra. Él ya tenía 10 años y empezó a ver que la cosa estaba cambiando, se empezaba a vislumbrar un cambio, ya había cierto movimiento punk, de hecho a pesar de ser muy joven todavía, ya notaba que en España había una incipiente movida, con grupos muy transgresores, y que incluso podías encontrar discotecas en pueblos del interior de León con 600 habitantes donde ya se vivía ese ambiente.
En 1979 ya era obvio que algo estaba cambiando, la incipiente movida ya era un hecho. Salían grupos por doquier en España, los grupos ingleses ya apuntaban maneras de entender la música de otra manera, él iba los veranos a Inglaterra y era obvio que él lo veía con sus propios ojos, además Franco había muerto y nadie se acordaba de él.
En 1981 con trece años fue a California, aquello ya era un desmadre y además de tener su primera relación sexual, un día en San Francisco entró en una casa en un paseo comercial cerca de Chinatown, y como la gente allí era tan abierta entabló conversación con un conocido de Huey Lewis que le comentó que él era una leyenda allí.
El tiempo iba a una velocidad de vértigo, en 1982 Spandau Ballet se hospedó en un hotel cerca de su casa en Madrid, sin cortarse un pelo y con la excusa de pedirles un autógrafo les comentó que le alegraba mucho que hubieran venido a Madrid, y que aquí había una movida muy interesante, a Omar nunca nadie le decía nada, le dejaban entablar conversación con la gente famosa y nadie decía ni pío, algo así como el pequeño Nicolás de ahora.
Él tenía muchos contactos ya entre 1984 y 1985 que le impulsaron a ser partícipe del macro concierto live aid de 1985.
También fueron curiosos esos años porque Bill Wyman, el ex bajista de los Rolling Stones se enrolló con una chica guapísima de 14 años llamada Mandy Smith, que se apuntaba a un bombardeo, lo mismo que Omar e iba mintiendo sobre su edad para que le dejaran entrar en las discotecas para conocer gente famosa.
Mick Jagger produjo dos obras de arte en solitario, que pasaron desapercibidas, pero aquello era música en estado puro y Tina Turner reinaba en cualquier rincón del mundo.
Cuando Omar hacía fiestas el nivel de tías era impresionante, vamos que mil veces mayor que las que podía congregar un grupo de música, y por supuesto mucho mayor que algún jugador de la NBA o algún mafioso forrado.
Todos nosotros teníamos la vida hecha pensaron Omar y sus contactos, el cachondeo duró aproximadamente hasta 1987 y luego cada uno se fue por su lado.
Esta época en España duró las dos legislaturas de UCD con Adolfo Suárez y la primera del PSOE con Felipe González.
Fue una época que había cambiado ciertos esquemas, pero claro con el mundo y experiencia que tenían los que habían triunfado en esa movida eran difíciles de desbancar, ya habían pasado 10 años, incluso se había desarrollado Internet y toda la gente no paraba de oír la música de los ochenta y no dejaba de buscar información de esa época.
A todos estos actores de los años 80 les iba bien… les dejaban hacer y deshacer ya que no tenían competencia, y con el desarrollo de Internet lo más buscado eran historias y música de esa época.
Bueno vamos a ver si empieza otra época pensábamos, pero era ya el año 2007 y una emisora podía estar poniendo música de los ochenta el 80 por ciento del tiempo, bueno vamos es que a los del reguetón ni se les consideraba como rivales.
En el año 2010 Omar empezó a hablar con sus contactos y les comentó que esto era ya muy cansino, que había que empezar a desmontar el montaje, que tenían que venir tiempos nuevos y que de hecho vendrían.
Era finales de Agosto, Omar se había levantado en su pequeño apartamento de una zona de las más caras de Madrid nervioso, y no era consciente ni de qué hora era, tenía ansiedad y sudaba profusamente. Se había acordado de una antigua amiga de hace mucho tiempo, tampoco sabía catalogarla exactamente si de amiga o de media novia, era tanto el tiempo que había pasado de aquella relación que hacía mucho tiempo que ni se acordaba de ella.
Noah, como ella se llamaba, siempre fue una mujer muy poderosa, pero a la vez sencilla, emanaba de ella una fuerza espiritual muy grande, estaba en armonía con las fuerzas de la naturaleza y poseía una belleza envidiable, lo tenía todo para triunfar.
Omar intuyó que algo pasaba con esa antigua conocida y como un rayo se levantó, se dirigió a su ordenador y puso su nombre en Internet sin resultados. Pensó en hacer una búsqueda por Facebook, pero dado el incontable número de usuarios tardó dos horas en encontrar su perfil.
Lo he conseguido en muy poco tiempo pensó, en otra época hubiera tardado semanas o meses en saber algo de ella, el caso es que ahora tenía toda su vida a su disposición en su pantalla.
Omar estuvo ocho horas repasando su biografía y se hizo una imagen más o menos detallada de lo que era y había sido su vida.
Omar tenía bastante claro que ni le iba a llamar ni mandarle un mensaje, sin embargo su hermana Fátima vino a visitarle a Madrid y fueron a cenar. Omar en medio de una conversación trivial con su hermana le comentó que había encontrado a una antigua conocida de hace mucho tiempo.
Su hermana le animó a escribirle, seguramente le hará ilusión le dijo a Omar, y Omar pensó que a lo mejor podía ayudarle en esta historia.
A los dos días Omar se decidió a escribirle, ella le contestó a las pocas horas del mensaje, le recordó algunas anécdotas de la época en que se conocían y se veían habitualmente mucho tiempo atrás, dejándole claro que su vida había cambiado drásticamente a partir de aquellos años, pero que se acordaba perfectamente de lo bien que lo habían pasado.
En esto Noah le escribe un día y le dice que va a ir a Madrid en un par de meses y que le gustaría verle.
El encuentro fue un poco extraño, ya que después de tanto tiempo la posibilidad de un encuentro era inesperada para ambos, incluso se me ocurrió ir a la cita no muy elegante y Noah había decidido ir totalmente transgresora, casi en pijama. La cita fue en un restaurante de dos estrellas Michelin, y dado el carácter tan transgresor de la pareja todos quedaron alucinados.
Tomando vino Noah le dijo que: ¡Ojalá cayera un meteorito sobre La Tierra y dejara sólo a los que valen!
A la mañana siguiente le pasó algo que nunca olvidaría, se fue despertando poco a poco con una paz interior inusual y le vino una idea a la cabeza que le hizo exclamar: ¡Eureka lo encontré! En ese instante tan denso creyó intuir que se lo habían transmitido dos seres con apariencia humana, que supuestamente viajaban en una nave, como si se tratara de gente más avanzada de otra civilización. Después de asimilar el descubrimiento en el que el proceso duró poco más de un segundo en total, notó que aquellos dos seres se iban preocupados. Esto a Omar le extrañó, ¿Si era cierto que eran más avanzados por qué se iban preocupados?, Pensó que en cierta manera tendrían problemas similares a los nuestros.
Ese mismo día Noah le llamó para presentarle a su madre, a la que no conocía, aunque seguro que Noah le habría hablado de él sobre sus andanzas años atrás.
El rollo era tan raro que hasta Omar se preguntaba que hacía él allí, él estaba entusiasmado con su idea, la madre de Noah le contaba su vida, Noah también debía estar alucinando que Omar estuviese en su casa, al que a pesar de conocerle hace mucho tiempo ninguno esperaba que se volviesen a encontrar.
El caso es que salieron a dar una vuelta se despidieron y si te he visto no me acuerdo.
Omar seguía con su idea que trataba sobre rollos probabilísticos que se podían aplicar a diferentes procesos, y un día hablando con su casero con el que mantenía una buena amistad, le comentó que una andaluza a la que había conocido hace tiempo quedó con él, y que al día siguiente le llevó a conocer a su madre. El casero le dijo: ¡Cómo son las andaluzas éstas!... en tono jocoso, incluso la mujer del casero le dijo: ¿Qué raro? yo en mi vida llevé a nadie a conocer a mi madre, sólo a mi marido y después de una relación de varios años.
Por curiosidad el casero le preguntó el nombre de ella y la sorpresa fue mayúscula, el casero era amigo de un primo de ella, le dijo que su padre y en general toda su familia eran una familia muy importante del sur de Andalucía, prácticamente lo que se denomina caciques, señoritos andaluces o como se quiera llamar... además de ser muy pudientes.
Omar ya sabía esto, pero el casero le dio algunos detalles más precisos, y así surgió una conversación entre Omar y Noah por Internet de vez en cuando, yo creo que ella alucinaba que él supiera tantas cosas sobre ella, ¿Cómo sabes eso le preguntaba ella?, Él le contestaba que con la agenda tan apretada que tenía y con los muchos contactos que tenía en su agenda le informaban de muchas cosas… y ella se reía.
La idea sobre la fórmula que conseguía que diferentes procesos probabilísticos en determinadas circunstancias se convirtieran en certezas, entusiasmaba a Omar.
Aplicando la nueva fórmula podía conseguir que casos probabilísticos se convirtieran en certezas, lo intentó con una chica que siempre mostró frialdad hacía él. En cierta manera él jugaba con ventaja y preparó una serie de acontecimientos sin demasiadas probabilidades de éxito, que desarrollados de una forma precisa conseguirían convertir el encuentro en un éxito y el éxito fue total.
Haciendo unos cálculos Omar se dio cuenta que todos los procesos probabilísticos de varias variables se podían reducir a una variable, esto era una suerte que hacía las cosas más fáciles, ya que las probabilidades de que sobreviva el oso pardo en Asturias y que la economía estadounidense entre en recesión, se podían unir con este método reduciendo ambas probabilidades a un número entre uno y diez, que no se convertía en una nueva probabilidad sino en una certeza.
Omar iba al casino de Torrelodones todas las noches, y allí era la persona que trataban mejor después de los dueños, no en vano ganaba todos los meses entre 7.000 y 15.000 euros dependiendo de las ganas que tuviera de jugar y además libres de impuestos. Pero él además era justo y no se metía con los que veía que tenían problemas con el juego, intentaba sacar el dinero a los que veía que les sobraba e incluso a veces se dejaba ganar sabiendo que iba ganando claramente a los que veía apurados.
Aquello le granjeaba bastantes amistades y además dejaba suculentas propinas a los empleados. Aunque algunos se reían de él, mira el subnormal éste perder con menganito con lo malo que es, sin que estos supieran que él se había retirado a pesar de tener unas cartas que eran claramente superiores.
En realidad a Omar le preocupaba mucho esta nueva situación del mundo, la gente ya no tenía valores era más importante ser la ex de un torero que un médico, tener una tarjeta black era lo más o ir a una macro fiesta donde podías morir en una avalancha era mucho más deseado que ir a jugar un partido de baloncesto en el polideportivo de tu barrio.
La creatividad a nivel mundial estaba por los suelos, aunque la piratería ayudaba a difundir a autores noveles, muchos lo hacían por joder metiendo libros y películas pirateadas, y luego llenando la página con anuncios pornográficos a cambio de unos míseros euros.
Y el reguetón que era lo que más le jodía a Omar, campaba por sus anchas, había que acelerar el proceso para que hubiera una regeneración, una nueva época y un cambio de aires.
Omar ya había madurado la idea y contactado con todos sus importantes conocidos de la música, la industria cinematográfica e incluso la política, y que había que retirarse a lo grande y dejar que otros siguieran.
Les dijo que cualquier jugador de póker novato sabía que las rachas no eran eternas y que era hora de irse retirando, sobre todo ahora que todavía iban ganando. El caso era ¿cómo? Porque Justin Bieber al lado de la bien engrasada maquinaria de la gente de los ochenta era como un enano contra Goliat.
Y también estaba la amenaza de una guerra nuclear que destruyera el planeta a causa de algún descerebrado de Corea del centro, Camboya o de algún grupo neonazi que montara un laboratorio nuclear en Leipzig con dinero de la mafia colombiana.
Básicamente usando las probabilidades de manera eficiente se podían conseguir resultados tan sorprendentes como reducir el bullying en las escuelas, tener una vida más sana, reducir desajustes sociales en general, eso sí había que esforzarse un poco y poner cada uno algo de su parte.
Omar escribió el libro sobre su idea, pero cuando salió el libro, ¡La sorpresa de Omar fue grandísima!... sacaba unos diez euros al mes por su venta, la comunidad científica se reía a carcajada limpia, decían que eso no tenía ningún sentido, que era teoría y que no servía para nada. Mejor era seguir con las tarjetas black, la especulación inmobiliaria y el bullying que era lo que funcionaba y daba dinero. Y que donde hubiera un concierto de reguetón con Kike Meantoja que se quitara lo demás.
Pero la realidad es que todo el mundo seguía oyendo música de los ochenta e interesándose por esa época, y todo este entramado de Bieber, Taylor Swift y gran hermano VIP no acababa de cuajar.
De hecho pasaron cinco años y el libro que era esencialmente bueno no había tenido ni una buena crítica.
No sé de qué manera Omar se acordó del pasaje de Noé del antiguo testamento, no era un experto en La Biblia sólo tenía una idea general, se había tragado El Quijote pero con La Biblia no podía y no se la había leído entera.
Le sorprendió muchísimo que Dios hubiese dado a Noé unas medidas exactas para construir el arca, él nunca pensó que La Biblia fuese un libro científico pero La Biblia tenía datos concretos de con qué medidas se debía construir y de qué forma, lo realmente curioso es que coincidían exactamente con su método probabilístico.
En seguida pensó que la nueva fórmula que le habían transmitido esos dos seres, podría tener algo que ver con el episodio de Noé de salvar a algunas especies, debido al enojo por la degradación que estaba sufriendo la sociedad actual, a la par recordó la frase de Noah en su último encuentro de hace años, ¡Ojalá cayera un meteorito en La Tierra y dejase sólo a los que valen!
Además el pasaje de Noé era aceptado en todas las comunidades antiguas, Hebrea, Cristiana y Musulmana. Incluso algunas leyendas indias americanas se referían a un gran maremoto que había inundado sus tierras.
Omar siguió investigando y descubrió que numerosas universidades aprobaban las medidas del barco de Noé, como ejemplo de flotación para un determinado número de individuos y animales aproximadamente 70.000 y que su diseño y medidas estaban perfectamente calculados para desenvolverse en el caso de un diluvio universal.
Omar ya no le dio más vueltas… Él era consciente que la humanidad caminaba por el camino equivocado, y empezó a usar sus modelos probabilísticos para salvar a la gente que consideraba justa, básicamente a todos los conocidos de los años ochenta que serían útiles en la nueva época que hipotéticamente se crearía. A Noah también le consideraba una buena chica y de hecho ella había tenido la idea del meteorito. Y también a los animales, él nunca haría daño a ningún animal y de hecho tenía un don que le hacía comunicarse con los animales.
Los años siguientes iban de mal en peor en el mundo, nadie hacía nada por mejorar la situación, un líder mundial podía ser considerado Nobel de la paz si durante su mandato las guerras provocadas por él eran menos de tres. Si alguien con ideas nuevas llegaba al poder con ideas renovadoras, esas ideas eran canjeadas por dos tarjetas black, un chófer y convertir a su supuesto hijo renovador en un encargado de limpiar las ganancias del nuevo salvador, a través de una intrincada red de blanqueo de capital en colaboración con un banco Chino en Corea del centro, cuya población se las veía y deseaba para comer decentemente.
Las medidas descritas por Dios a Noé en el arca no daban lugar a dudas. Eran las mismas que la fórmula de Omar y en realidad todo se reducía a una variable, la probabilidad se convertía en certeza de supervivencia si se habitaba cerca del agua, mejor dicho cerca de una gran masa de agua, o sea el mar.
Por otra parte cada vez era mayor el número de asteroides que pasaban cerca de La Tierra y era cuestión de tiempo que uno impactara, la N.A.S.A. tampoco podía predecir todas las variables y no tenía la tecnología necesaria para desviar uno de estos asteroides, que además podía venir a velocidades bastante considerables.
De hecho los dinosaurios, los reyes de La Tierra en ese momento, habían desaparecido por esa causa Quizás no encajaban en el orden mundial como ahora no encajaba mucha de la población que no tenía en cuenta las cosas importantes, y que consideraba a sus héroes como los poseedores de las tarjetas black, los concursantes de Gran Hermano o la ex de un torero, y de paso si el meteorito impactara se podía conseguir una regeneración que pasara página a los casi eternos años ochenta.
La profecía de Noah se cumplió. Un asteroide cayó en plena meseta China, las bajas de los primeros días fueron de casi mil millones de personas sólo en China, debido al gran calor y el polvo levantado que dejo asfixiados a la mayoría de la población, ese polvo que hizo la atmósfera irrespirable se extendió hacía Rusia y Europa dejando una estela de cerca de dos mil millones de muertes, las zonas costeras habían tenido mejor suerte, ya que la humedad había reducido considerablemente el polvo y aliviado las altas temperaturas. Terremotos de gran magnitud habían desolado América, pero milagrosamente Hollywood se había salvado.
Lo curioso es que algunas salas de reguetón difundieron que aquello era una señal divina de que el reguetón triunfaría, se confiaron y no pudieron escapar.
Obviamente Noah, Omar y todos sus conocidos se habían salvado. A ellos ya no les interesaba vivir en un rascacielos, se habían retirado a tiempo, aquella época ya había durado mucho tiempo y empezaba a ser cansina. Había que retirarse cuando todavía iban ganando, ya que ninguna época es eterna.
Noah y sus amigos se habían ido a vivir a una isla de Polinesia, Omar y sus conocidos vivían en la isla de Makatea.
En fin la idea de que la probabilidad de sobrevivir a un hipotético desastre estaba cerca del mar, y que Omar había calculado con los datos de las medidas del arca de Noé había funcionado y es que la historia se repite. Había pasado según la tradición antigua, mucho antes había pasado con los dinosaurios, y ahora se abría otra época para la humanidad porque esto no fue la guerra de Perejil, fue un cataclismo mundial que borró del mapa el bullying, las tarjetas black y Gran Hermano VIP.

Cómo se desenvolvió la humanidad después es otra historia, pero al fin conseguimos pasar página a los años ochenta, pensó.

viernes, 23 de septiembre de 2016

La sucesión Divina

La sucesión Divina




Era una calurosa mañana de verano, los chiquillos andaban descontrolados ya que les quedaba poco para ir al colegio.
Hablé con María Luisa era una amiga de la facultad, ella ni se planteaba no seguir adquiriendo conocimientos. Era Física y Matemática yo sólo era físico ya que pensaba que las matemáticas eran a la física como las masturbación al sexo. Hable con ella sobre el número áureo y en seguida me puso mala cara, a ella no le gustaba el número áureo dada la mala fama que tenía dicho número, sobre propiedades que le atribuían sin sentido, como ser la razón divina.. Esto para una agnóstica ya era un problema y más habladurías como decir que estaba en las Pirámides Egipcias.

Yo le dije ¿Y qué problema hay? en eso estoy totalmente de acuerdo le dije. Yo lo que persigo es su relación matemática , ella siempre me había apoyado en mis anteriores proyectos y quedó convencida de mi próximo estudio.

Me dedique a meter fracciones en la ecuación del efecto Doppler ya que me defendía en relatividad especial si, aplicábamos fracciones de velocidad relativa en la ecuación del Sr. Doppler equivalentes a 0.6180033 obteníamos frecuencias que eran el cuadrado del número áureo partido por el inverso del número áureo, osea era dividir el cuadrado del número áureo entre su inverso que da un valor de 4.2358

Cómo no se le había ocurrido esto a alguien antes pensó; si lo queréis ver de otra manera ese número es el número áureo al cubo.

Decidió integrar una función entre esos valores osea entre 0 , phi , su inverso, su cuadrado y su cubo.

La función elegida era x-1.618 ya que forma un triángulo cuadrado cuyos dos catetos miden ambos 1.61803398874988 esa función también forma otro triángulo sobre la parte positiva de x

4.2358 – 1.6180 = 2.618

Y el otro cateto que era la función evaluada en 4.2358 era también (4.2358– 1.6180 = 2.618)
En seguida se dio cuenta de la importancia de ese número.

El área de los dos triángulos estaban en la proporción áurea.


Entonces se le encendió una luz y se dio cuenta que había encontrado la sucesión divina y la escribió en un papel.


1.618^2 = 2.618
1.618 * 1 + 1 = 2.618
1.618^3 = 4.2358
1.618 *2 + 1 = 4.236
1.618^4 = 6.853
1.618 *3 + 2 = 6.854
1.618^5 = 11.089
1.618 *5 + 3 = 11.09
1.618^6 = 17.942
1.618 *8 + 5 = 17.944
1.618^7 = 29.03
1.618 *13 + 8 = 29.03
1.618^8 = 46.97
1.618 *21 + 13 = 46.978
1.618^9 = 76.012
1.618 *34 + 21 = 76.013
1.618^10 = 122.9911
1.618 *55 + 34 = 122.911


1.618^n = 1.618*(p_1 + p_2) + (m_1 + m_2)


Para n>=2
p_0 = 1
p_1 =2
m_0 = 1
m_1 = 1

n,n_,m_ son números naturales

Estuvo una semana creyendo que había descubierto algo importante, aunque en cierta manera le extrañaba un poco, ya que aunque la relación no era obvia tampoco era de una extremada dificultad.

Poco a poco rastreando por Internet descubrió ésta relación en dos páginas de Internet en inglés, una de La Universidad de Surray en Inglaterra.

Aunque al principio se decepcionó un poco...En seguida se animó sabía que ella estaba detrás de esa idea que le venía rondando la cabeza, ella era una buena chica y confió ciegamente en ella.

Demás ahora sabía que iba por el camino correcto y el había encontrado la sucesión numérica por sus propios medios lo que tenía su mérito.

Él ya había encontrado una base de polinomios, la idea que ella le inspiró era buena era intentar unir la sucesión con los polinomios que había trabajado antes.

Era intentar unir Álgebra y Cálculo, vio que funcionaba y que podía ayudar a la gente.

Ella siempre trataba de ayudar a la gente y era lo que le transmitía a él con sus fórmulas.

Lo que descubrió trataba con polinomios que seguían dos sucesiones de Fibonacci y otra de números naturales todos pares.

La fórmula era realmente simple como tienen que ser las fórmulas.

    Integrando el área de esos casi rectángulos entre las dos raíces, que eran -PHI y + 1/PHI






Había algo que parecía obvio y es que la relación del cociente de estas integrales con los siguientes estaban en cierta relación, siempre y cuando x^n estuviera elevado a un número par.


Los polinomios que se formaban con los número correspondientes a x^10 tenían una relación en cuanto a su área de Phi al cuadrado, cuando se comparaban con los polinomios adyacentes o sea los de x^12 y x^8 o sea x elevado a números pares.

Él se dio cuenta que aquello podía ayudar a la gente en diversos campos y le dio gracias a ella, otra vez le había inspirado y se quedó absorto mirando los gráficos de los polinomios que se asemejaban a triángulos rectángulos, y que además cuyo mínimo o vértice del triangulo era siempre un poco mayor que los dos números de Fibonacci que formaban esos polinomios, y además ese mínimo se iba desplazando poco a poco a la izquierda de -1,2 y lo que era más importante el área de estos polinomios debajo de las abscisas se asemejaban a triángulos cuya área entre uno y el siguiente se aproximaba a Phi al cuadrado.





Pero además pasaba algo muy curioso